中国数学家成功证明了微分几何的两个核心猜想 历时11年
最近，中国科学技术大学的陈秀雄教授和王兵教授在微分几何领域取得了重大突破。他在《微分几何学杂志》年发表的关于高维凯洛格流收敛性的论文《Space of Ricci flows (II)—Part B: Weak compactness of the flows》，成功证明了“哈密尔顿 - 田” 和 “偏零阶估计”,两个国际数学界悬而未决20多年的核心猜想。
《微分几何学杂志》是几何领域的顶级期刊，发表了许多划时代的数学论文，如汉密尔顿关于瑞西流的开创性工作。
据了解，这篇论文从作者写作到正式发表用了11年，长达120多页，从投稿到正式发表用了6年。王冰说，就像写小说一样。"不同的是，它是由逻辑而不是故事驱动的."
图|纸《Space of Ricci flows (II)—Part B: Weak compactness of the flows》
本文的主要内容是研究高维凯勒的“里奇流”的收敛性，引入了许多新的思想和方法，对几何分析，特别是对里奇流的研究产生了深远的影响。
什么是 “里奇流”？
微分几何起源于17世纪，是数学的一个分支，主要用解析的方法研究空间(微分流形)的几何性质。它极大地促进了物理学、天文学和工程学的发展。欧拉、加斯帕尔蒙日、拉格朗日、柯西等数学家对微分几何的发展做出了重要贡献。
在微分几何领域，陈秀雄和王兵团队的研究方向是“里奇流”的收敛。
出生于20世纪80年代的瑞奇流是描述空间演化的微分几何研究工具。在微分几何中，“瑞奇流”是一种固有的几何流。其主要思想是使流形随时间变形，即使度量张量随时间变化，观察流形变形下Ricci曲率如何变化，从而研究整体的拓扑性质。其核心是哈密尔顿的Ricci流动方程，它是一个拟线性抛物方程组。
不同阶段瑞西流的2D流形(来源：Knowpia)
里奇流是以意大利数学家格雷戈里奥利奇柯柏巴斯托的名字命名的，由美国数学家理查德汉弥尔顿于1981年首次提出，也称为里奇-汉密尔顿流。俄罗斯数学家格里戈里佩雷尔曼(g)也使用了这个工具
两位大神，何许人也？
陈秀雄教授师从著名几何学家卡拉比，曾任中国科学技术大学讲座教授。2018年，成为上海科技大学数学科学研究所创始所长。1987年毕业于中国科技大学数学系，后就读于中国科学院研究生院，获硕士学位。1989年被国家送至宾夕法尼亚大学攻读博士、博士后，并获得美国国家科学基金会资助，获得2019年西蒙斯学者奖。主要研究领域是大规模微分几何和非线性偏微分方程。
图|陈秀雄教授
2014年，陈秀雄、1986年菲尔兹奖获得者西蒙唐纳森、陈秀雄的弟子孙松博士成功解决了“丘成桐猜想”，被誉为“自卡拉比猜想被解决以来复杂几何领域最重要的问题”。《美国数学会杂志》的审稿人评论说，陈-唐纳森-孙的证明是一个突破，不仅解决了一个根本问题，而且发展了许多新颖而有力的工具，揭示了Kaller几何、代数几何和偏微分方程之间的深刻联系。
之后，他们凭借《美国数学会杂志》年发表的三篇论文《Khler-Einstein metrics on Fano manifolds, I, II and III》获得了2019年奥斯瓦尔德维布伦几何奖。他们证明了稳定性猜想，即K-稳定Fano流形上的克勒-爱因斯坦度量的存在性。
图|王兵教授
这一突破的另一位主要研究者是中国科技大学数学科学学院的王兵教授。1998年王兵进入中国科技大学初级学院，2003年赴美就读威斯康星-麦迪逊大学数学系，2008年博士毕业。此后，他一直担任普林斯顿大学讲师，石溪大学西蒙斯几何与物理中心助理教授，威斯康星-麦迪逊大学助理教授兼副教授(终身职位)。2018年，王兵教授回到中国科技大学数学科学学院工作。王兵教授的研究专长是几何流，特别是凯洛格流、里奇流和平均曲率流等。他的主要研究兴趣包括微分几何、代数几何和偏微分方程。
“从宇宙膨胀到热胀冷缩，很多自然现象都可以归结为空间演化。”王兵教授比喻说，比如我们吹气球，气球不断膨胀，可以用“里奇流”来研究它的空间变化，最终得到一个完美的理想结果。
“如果吹肥皂泡，当肥皂泡浮在空中时，会不会缩小？如果有一种生物生活在肥皂泡膜上，你会觉得周围的空间在变化，它有一个进化的过程。空间的变化最终是一种稳定的状态。换个泡泡，刚开始吹出来的话，在空中飘一段时间后可能会变成一个球，会进化成一个球。演变成球以后就不再演变了。所以是稳定状态。”王兵教授解释道。
在王冰看来，做数学研究不仅不枯燥，而且非常漂亮。就像王安石在《游褒禅山记》中说的“天下雄奇，奇哉，奇哉，常在于危，人难得，所以无志者不能来。”王兵说：“里面，王安石说他去宝蟾山玩，放火烧洞，发现洞内景色很好。他越往里走，风景越好，越不可思议，但是旁边有人开始退让，说你再往里走，火炬就烧光了。最后他们出来发现火炬可以烧很久，他开始后悔。我感觉他说的是做研究的道理。世界上越是美好的东西，越是人迹罕至的地方。”
本次突破的意义
这篇论文的审稿人评论说“这篇论文是几何分析领域的一大进步，无疑会激发很多相关的工作”。
图|西蒙唐纳森
菲尔兹奖获得者西蒙唐纳森也在媒体和文章中称赞这篇文章是“近年来几何学的重大突破”。
此外，王兵和李将本文的核心思想推广到平均曲率流的研究，成功地解决了著名的延拓猜想。结果发表在四大数学期刊之一的《数学新进展》(发明数学)上。
近两年来，本文的概念和方法也被应用到王冰及其合作者的一系列其他重要作品中。王兵、黄绍赛、李煜(即将加入几何与物理研究中心)合著的《关于Ricci收缩子极限空间的正则紧性》一文论证了非坍缩Ricci收缩子孤子的极限必定是陈和王定义的锥。这篇论文发表在著名的综合杂志《纯粹与应用数学杂志》(克雷尔杂志)上。
此外，王兵和李煜合著的《热核在里奇收缩子上》一文给出了一些关于里奇孤子的热核的最佳估计，从而刻画了孤子上一些深刻的几何和拓扑结构，为高维里奇流奇异性的研究奠定了基础。这篇长文最近发表在《变分法与偏微分方程》(变分法和偏微分方程)上。
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